O teorema de Pitágoras, criado pelo matemático grego Pitágoras, é uma relação entre os três lados de qualquer triângulo retângulo, podemos defini-la com a seguinte afirmação:
"em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos comprimentos dos catetos".
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (90°), e os catetos são os lados que a formam.
Podemos utilizar o teorema de Pitágoras como uma relação entre áreas:
"em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos".
Para ambas as afirmações, pode-se equacionar:
c²=a²+b²
Sendo "c" a hipotenusa, "b" um dos catetos e "a" o outro cateto restante. A análise do teorema também nos diz que a hipotenusa é maior que qualquer um dos dois catetos, porém será menor que a soma destes.
Um dos usos mais recorrentes do teorema de Pitágoras é para descobrir a hipotenusa, conhecendo os dois catetos, porém este teorema pode ser usado em qualquer tipo de poligono, pois para qualquer poligono existente pode-se subdividi-lo em vários triângulos, e estes em triângulos retângulos.
Por exemplo, com o teorema de Pitágoras podemos calcular a diagonal de um quadrado, a altura de um triângulo equilatero, a diagonal de um cubo, etc.
O teorema de Pitágoras pode ser demonstrado de muitas formas, o livro "The Pythagorean Proposition" faz a demonstração em 370 formas diferentes.
As formas mais comuns da demonstração do teorema de Pitágoras são por: semelhança de triângulos, demonstração algébrica e pelo cálculo diferencial.
Por semelhança de triângulos:
Baseia-se na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, ou seja, que a razão entre qualquer dos dois lados correspondentes é a mesma, independendo do tamanho dos dois triângulos.
Sendo ABC um triângulo retângulo, desenha-se a altura do triângulo a partir do lado C. O ponto H divide a hipotenusa em duas novas medidas, "d" e "e".
O triângulo ACH é semelhante ao triângulo ABC pois ambos compartilham o ângulo em A e são triângulos retângulos.Seguindo raciocínio parecido percebemos que o triângulo CBH também é semelhante ao ABC.
A semelhança dos triângulos nos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes, ou seja:
a/c = e/a e b/c = d/b
Multiplicando em "x" temos que:
a²=c.e e b²=c.d
Somando estas duas igualdades, temos:
a²+b²=(c.e)+(c.d)
Colocando "c" em evidencia:
a²+b²=c.(e+d)
Se olharmos para a figura novamente, notamos que "c" na verdade é a soma dos comprimentos de "e" e "d", logo:
a²+b²=c.c
a²+b²=c²
c²=a²+b²
Por demonstração algébrica:
A análise da figura abaixo nos permite determinar a área do quadrado com um dos lados formando a hipotenusa do triângulo. No caso, a área do quadrado, é quatro vezes a área do triângulo somado com a área do quadrado restante, de lado (b-a).
Equacionando, temos que:
c²=(4ab)/2 + (b-a)²
c²=2ab + b²-2ba+a²
Sabendo que o termo (b-a)² um produto notável, temos que:
c²=a²+b²
Por cálculo diferencial:
Podemos chegar ao teorema de Pitágoras analisando como as mudanças em um dos lados do triângulo podem afetar mudanças na hipotenusa, é uma demonstração métrica do teorema, já que se utilizam os comprimentos e não as áreas.
Como resultado da mudança do lado "a", temos:
da/dc = c/a
Multiplicando em "x", temos que:
c.dc=a.da
Por separação de variáveis que resulta da adição de um segundo termo para as mudanças no lado b e pela integração, temos:
c²=a²+constante
Nota-se que quando "a" for zero, "c" vai ser igual a constante, ou seja, podemos dizer que:
c²=a²+b²
